829. 连续整数求和
题目描述
给定一个正整数 n，返回 连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数 。
示例 1:
输入: n = 5 输出: 2 解释: 5 = 2 + 3，共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。
示例 2:
输入: n = 9 输出: 3 解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4
示例 3:
输入: n = 15 输出: 4 解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
提示:
1 <= n <= 109
解法
方法一：数学推导
连续正整数构成一个公差 $d = 1$ 的等差数列。我们假设等差数列的第一项为 $a$，项数为 $k$，那么 $n = (a + a + k - 1) \times k / 2$，即 $n \times 2 = (a \times 2 + k - 1) \times k$。这里我们可以得出 $k$ 一定能整除 $n \times 2$，并且 $(n \times 2) / k - k + 1$ 一定是偶数。
由于 $a \geq 1$，所以 $n \times 2 = (a \times 2 + k - 1) \times k \geq k \times (k + 1)$。
综上，我们可以得出：
$k$ 一定能整除 $n \times 2$；
$k \times (k + 1) \leq n \times 2$；
$(n \times 2) / k - k + 1$ 一定是偶数。
我们从 $k = 1$ 开始枚举，当 $k \times (k + 1) > n \times 2$ 时，我们可以结束枚举。在枚举的过程中，我们判断 $k$ 是否能整除 $n \times 2$，并且 $(n \times 2) / k - k + 1$ 是否是偶数，如果是则满足条件，答案加一。
枚举结束后，返回答案即可。
时间复杂度 $O(\sqrt{n})$，其中 $n$ 为给定的正整数。空间复杂度 $O(1)$。
Python3
class Solution:
def consecutiveNumbersSum(self, n: int) -> int:
n <<= 1
ans, k = 0, 1
while k * (k + 1) <= n:
if n % k == 0 and (n // k + 1 - k) % 2 == 0:
ans += 1
k += 1
return ans
Java
class Solution {
public int consecutiveNumbersSum(int n) {
n <<= 1;
int ans = 0;
for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
++ans;
}
}
return ans;
}
}
C++
class Solution {
public:
int consecutiveNumbersSum(int n) {
n <<= 1;
int ans = 0;
for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
++ans;
}
}
return ans;
}
};
Go
func consecutiveNumbersSum(n int) int {
n <<= 1
ans := 0
for k := 1; k*(k+1) <= n; k++ {
if n%k == 0 && (n/k+1-k)%2 == 0 {
ans++
}
}
return ans
}
TypeScript
function consecutiveNumbersSum(n: number): number {
let ans = 0;
n <<= 1;
for (let k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
if (n % k === 0 && (Math.floor(n / k) + 1 - k) % 2 === 0) {
++ans;
}
}
return ans;
}