面试题 14- I. 剪绳子 

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 58

注意：本题与主站 343 题相同：https://leetcode.cn/problems/integer-break/

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i]$ 表示正整数 $i$ 拆分后能获得的最大乘积，初始时 $f[1] = 1$。答案即为 $f[n]$。

考虑 $i$ 最后拆分出的数字 $j$，其中 $j \in [1, i)$。对于 $i$ 拆分出的数字 $j$，有两种情况：

将 $i$ 拆分成 $i - j$ 和 $j$ 的和，不继续拆分，此时乘积为 $(i - j) \times j$；
将 $i$ 拆分成 $i - j$ 和 $j$ 的和，继续拆分，此时乘积为 $f[i - j] \times j$。

因此，我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i] = \max(f[i], f[i - j] \times j, (i - j) \times j) \quad (j \in [0, i)) $$

最后返回 $f[n]$ 即可。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为给定的正整数。

Python3

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        f = [1] * (n + 1)
        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(1, i):
                f[i] = max(f[i], f[i - j] * j, (i - j) * j)
        return f[n]

Java

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                f[i] = Math.max(Math.max(f[i], f[i - j] * j), (i - j) * j);
            }
        }
        return f[n];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        vector<int> f(n + 1);
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                f[i] = max({f[i], f[i - j] * j, (i - j) * j});
            }
        }
        return f[n];
    }
};

Go

func cuttingRope(n int) int {
	f := make([]int, n+1)
	f[1] = 1
	for i := 2; i <= n; i++ {
		for j := 1; j < i; j++ {
			f[i] = max(f[i], f[i-j]*j, (i-j)*j)
		}
	}
	return f[n]
}

TypeScript

function cuttingRope(n: number): number {
    const f: number[] = Array(n + 1).fill(1);
    for (let i = 2; i <= n; ++i) {
        for (let j = 1; j < i; ++j) {
            f[i] = Math.max(f[i], f[i - j] * j, (i - j) * j);
        }
    }
    return f[n];
}

Rust

impl Solution {
    pub fn cutting_rope(n: i32) -> i32 {
        let n = n as usize;
        let mut f = vec![0; n + 1];
        f[1] = 1;
        for i in 2..=n {
            for j in 1..i {
                f[i] = f[i].max(f[i - j] * j).max((i - j) * j);
            }
        }
        f[n] as i32
    }
}

JavaScript

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var cuttingRope = function (n) {
    const f = Array(n + 1).fill(1);
    for (let i = 2; i <= n; ++i) {
        for (let j = 1; j < i; ++j) {
            f[i] = Math.max(f[i], f[i - j] * j, (i - j) * j);
        }
    }
    return f[n];
};

C#

public class Solution {
    public int CuttingRope(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                f[i] = Math.Max(Math.Max(f[i], f[i - j] * j), (i - j) * j);
            }
        }
        return f[n];
    }
}

Swift

class Solution {
    func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
        var f = [Int](repeating: 0, count: n + 1)
        f[1] = 1
        for i in 2...n {
            for j in 1..<i {
                f[i] = max(f[i], max(f[i - j] * j, (i - j) * j))
            }
        }
        return f[n]
    }
}

方法二：数学

当 $n \lt 4$ 时，由于题目要求至少剪一次，因此 $n - 1$ 是最大乘积。当 $n \ge 4$ 时，我们尽可能多地拆分 $3$，当剩下的最后一段为 $4$ 时，我们将其拆分为 $2 + 2$，这样乘积最大。

时间复杂度 $O(1)$，空间复杂度 $O(1)$。