2952. 需要添加的硬币的最小数量 

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 coins，表示可用的硬币的面值，以及一个整数 target 。

如果存在某个 coins 的子序列总和为 x，那么整数 x 就是一个 可取得的金额 。

返回需要添加到数组中的 任意面值 硬币的 最小数量 ，使范围 [1, target] 内的每个整数都属于 可取得的金额 。

数组的 子序列 是通过删除原始数组的一些（可能不删除）元素而形成的新的非空数组，删除过程不会改变剩余元素的相对位置。

示例 1：

输入：coins = [1,4,10], target = 19
输出：2
解释：需要添加面值为 2 和 8 的硬币各一枚，得到硬币数组 [1,2,4,8,10] 。
可以证明从 1 到 19 的所有整数都可由数组中的硬币组合得到，且需要添加到数组中的硬币数目最小为 2 。

示例 2：

输入：coins = [1,4,10,5,7,19], target = 19
输出：1
解释：只需要添加一枚面值为 2 的硬币，得到硬币数组 [1,2,4,5,7,10,19] 。
可以证明从 1 到 19 的所有整数都可由数组中的硬币组合得到，且需要添加到数组中的硬币数目最小为 1 。

示例 3：

输入：coins = [1,1,1], target = 20
输出：3
解释：
需要添加面值为 4 、8 和 16 的硬币各一枚，得到硬币数组 [1,1,1,4,8,16] 。 
可以证明从 1 到 20 的所有整数都可由数组中的硬币组合得到，且需要添加到数组中的硬币数目最小为 3 。

提示：

1 <= target <= 10⁵
1 <= coins.length <= 10⁵
1 <= coins[i] <= target

解法

方法一：贪心 + 构造

我们不妨假设当前需要构造的金额为 $s$，且我们已经构造出了 $[0,...,s-1]$ 内的所有金额。如果此时有一个新的硬币 $x$，我们把它加入到数组中，可以构造出 $[x, s+x-1]$ 内的所有金额。

接下来，分类讨论：

如果 $x \le s$，那么我们可以将上面两个区间合并，得到 $[0, s+x-1]$ 内的所有金额。
如果 $x \gt s$，那么我们就需要添加一个面值为 $s$ 的硬币，这样可以构造出 $[0, 2s-1]$ 内的所有金额。然后我们再考虑 $x$ 和 $s$ 的大小关系，继续分析。

因此，我们将数组 $coins$ 按照升序排序，然后从小到大遍历数组中的硬币。对于每个硬币 $x$，我们进行上述分类讨论，直到 $s > target$ 为止。

时间复杂度 $O(n \times \log n)$，空间复杂度 $O(\log n)$。其中 $n$ 是数组的长度。

Python3

class Solution:
    def minimumAddedCoins(self, coins: List[int], target: int) -> int:
        coins.sort()
        s = 1
        ans = i = 0
        while s <= target:
            if i < len(coins) and coins[i] <= s:
                s += coins[i]
                i += 1
            else:
                s <<= 1
                ans += 1
        return ans

Java

class Solution {
    public int minimumAddedCoins(int[] coins, int target) {
        Arrays.sort(coins);
        int ans = 0;
        for (int i = 0, s = 1; s <= target;) {
            if (i < coins.length && coins[i] <= s) {
                s += coins[i++];
            } else {
                s <<= 1;
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int minimumAddedCoins(vector<int>& coins, int target) {
        sort(coins.begin(), coins.end());
        int ans = 0;
        for (int i = 0, s = 1; s <= target;) {
            if (i < coins.size() && coins[i] <= s) {
                s += coins[i++];
            } else {
                s <<= 1;
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
};

Go

func minimumAddedCoins(coins []int, target int) (ans int) {
	slices.Sort(coins)
	for i, s := 0, 1; s <= target; {
		if i < len(coins) && coins[i] <= s {
			s += coins[i]
			i++
		} else {
			s <<= 1
			ans++
		}
	}
	return
}

TypeScript

function minimumAddedCoins(coins: number[], target: number): number {
    coins.sort((a, b) => a - b);
    let ans = 0;
    for (let i = 0, s = 1; s <= target; ) {
        if (i < coins.length && coins[i] <= s) {
            s += coins[i++];
        } else {
            s <<= 1;
            ++ans;
        }
    }
    return ans;
}