1015. 可被 K 整除的最小整数 

题目描述

给定正整数 k ，你需要找出可以被 k 整除的、仅包含数字 1 的最小正整数 n 的长度。

返回 n 的长度。如果不存在这样的 n ，就返回-1。

注意： n 可能不符合 64 位带符号整数。

示例 1：

输入：k = 1
输出：1
解释：最小的答案是 n = 1，其长度为 1。

示例 2：

输入：k = 2
输出：-1
解释：不存在可被 2 整除的正整数 n 。

示例 3：

输入：k = 3
输出：3
解释：最小的答案是 n = 111，其长度为 3。

提示：

1 <= k <= 10⁵

解法

方法一：数学

我们注意到，正整数 $n$ 初始值为 $1$，每次乘以 $10$ 后再加 $1$，即 $n = n \times 10 + 1$，而 $(n \times 10 + 1) \bmod k = ((n \bmod k) \times 10 + 1) \bmod k$，因此我们可以通过计算 $n \bmod k$ 来判断 $n$ 是否能被 $k$ 整除。

我们从 $n = 1$ 开始，每次计算 $n \bmod k$，直到 $n \bmod k = 0$，此时 $n$ 就是我们要求的最小正整数，其长度即为 $n$ 的位数。否则，我们更新 $n = (n \times 10 + 1) \bmod k$。如果循环 $k$ 次后，仍然没有找到 $n \bmod k = 0$，则说明不存在这样的 $n$，返回 $-1$。

时间复杂度 $O(k)$，空间复杂度 $O(1)$。其中 $k$ 为给定的正整数。

Python3

class Solution:
    def smallestRepunitDivByK(self, k: int) -> int:
        n = 1 % k
        for i in range(1, k + 1):
            if n == 0:
                return i
            n = (n * 10 + 1) % k
        return -1

Java

class Solution {
    public int smallestRepunitDivByK(int k) {
        int n = 1 % k;
        for (int i = 1; i <= k; ++i) {
            if (n == 0) {
                return i;
            }
            n = (n * 10 + 1) % k;
        }
        return -1;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int smallestRepunitDivByK(int k) {
        int n = 1 % k;
        for (int i = 1; i <= k; ++i) {
            if (n == 0) {
                return i;
            }
            n = (n * 10 + 1) % k;
        }
        return -1;
    }
};

Go

func smallestRepunitDivByK(k int) int {
	n := 1 % k
	for i := 1; i <= k; i++ {
		if n == 0 {
			return i
		}
		n = (n*10 + 1) % k
	}
	return -1
}

TypeScript

function smallestRepunitDivByK(k: number): number {
    let n = 1 % k;
    for (let i = 1; i <= k; ++i) {
        if (n === 0) {
            return i;
        }
        n = (n * 10 + 1) % k;
    }
    return -1;
}